La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout Nombre réel x et pour tout nombre entier n :

( cos(x)+i sin(x)) ⁿ = cos(nx)+i sin(nx)~,

ou encore

(e ^{i x} ) ⁿ = e ^inx .

Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la Trigonométrie.

L'expression « cos(x) + i·sin(x) » est parfois abrégée en « cis x ».

Historique

On trouve cette formule de manière implicite dans l'oeuvre de De Moivre et Roger Cotes. Euler lui donne sa forme générale pour tout entier n vers 1750.

Démonstration de la formule

Soit x ∈R

Considérons trois cas.

Pour n>0, nous procédons par récurrence.

Lorsque n = 1, la formule est vraie.

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que la formule soit vraie. Cela signifie que

( cos x + i sin x) ^k = cos(kx) + i sin(kx).

Nous avons

n begin{alignat }2 n( cos x+i sin x) ^{k + 1} & =( cos x+i sin x) ^k( cos x+i sin x)\ n & =( cos x+i sin x)  d 'après l ^′ hypoth èse de re(acute)currence\ n & = cos(kx) cos x - sin(kx) sin x + i\ n & = cos + i sin {(k+1) x }   d ^′ après les formules trigonome(acute)triques n n end{alignat } n

Nous en déduisons que la formule est vraie au rang k+1.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.

Lorsque n = 0, la formule est vraie puisque cos (0x) + i sin (0x) = 1 + i 0 = 1, et par convention z ⁰ = 1.

Lorsque n<0, nous considérons un entier naturel strictement positif m tel que n = -m. Ainsi

n begin{alignat }2 n( cos x + i sin x) n & =( cos x + i sin x) - m \ n & =

1 –––––––––––––––––––––––––– ( cos x + i sin x) m

\ n & =

1 –––––––––––––––––––––––––––– ( cos mx + i sin mx)

\ n & = cos(mx) - i sin(mx)\ n & = cos(-mx) + i sin(-mx)\ n & = cos(nx) + i sin(nx). n end{alignat } n

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs n c.q.f.d..

Utilisations de la formule de De Moivre

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n-ièmes et les racines n-ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :

z ⁿ = r ⁿ ( cos(nx)+ i sin(nx) )

ainsi que pour obtenir les formes de cos(nx) et sin(nx) en fonction de sin(x) et cos(x).

Par exemple, pour avoir cos(2x) et sin(2x), on égale :

( cos(x)+i sin(x)) ² = cos(2x)+i sin(2x)

On a

cos ² (x)+2 cos(x) sin(x)i- sin ² (x) = cos(2x)+i sin(2x)

On identifie les parties réelles et imaginaires :

cos(2x) = cos ² (x)- sin ² (x) et

sin(2x) = 2 cos(x) sin(x)

On obtient les formules trigonométriques de duplication.

Références